人教版初一數學上冊知識點.pdf

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初一上冊數學知識點
第一章有理數
知識點一:有理數的分類
正整數
正有理數含正有限小數和無限循環小數
正分數
零
有理數
負整數
負有理數含負有限小數和無限循環小數
負分數
有理數的另一種分類
正整數
自然數
0
整數
負整數
有
理
數
正分數
分數
負分數
想一想:零是整數嗎?自然數一定是整數嗎?自然數一定是正整數嗎?整數一定是
自然數嗎?
零是整數;自然數一定是整數;自然數不一定是正整數,因為零也是自然數;
整數不一定是自然數,因為負整數不是自然數。
判斷正誤:
①不帶“-”號的數都是正數()
②如果a是正數,那么-a一定是負數()
③不存在既不是正數,也不是負數的數()
④0℃表示沒有溫度()
知識點二:數軸
1、填空
1:.
①規定了唯一的原點,正方向和單位長度(三要素)的直線叫做
數軸。
②比-3大的負整數是_______;已知m是整數且-4<m<3,則m為___________。
③有理數中,最大的負整數是____,最小的正整數是____。最大的非正數是____。
④與原點的距離為三個單位的點有____個,他們分別表示的有理數是________。
2、請畫一個數軸,并檢查它是否具備數軸三要素?
3、選擇題
①在數軸上,原點及原點左邊所表示的數是()
A整數B負數C非負數D非正數
②下列語句中正確的是()
A數軸上的點只能表示整數B數軸上的點只能表示分數
C數軸上的點只能表示有理數D所有有理數都可以用數軸上的點表示出
來
知識點三:相反數
相反數:只有符號不同的兩個數互為相反數,0的相反數是0。在數軸上位于原點
兩側且離原點距離相等。
1、填空
①-2的相反數是;它的倒數是;它的絕對值
是。
②|-3|的相反數是;它的倒數是;它的絕對值
是。
③相反數是它本身的數是0;倒數是它本身的數是1和-1;絕對
值是它本身的數是非負數。
2、選擇
①若a和b是互為相反數,則a+b=()
A、–2aB、2bC、0D、任意有理數
②下列說法正確的是()
A、–1/、4的相反數是-
C、-、-
③用-a表示的數一定是()
A、負數B、正數C、正數或負數D、都不對
④一個數的相反數是最小的正整數,那么這個數是()
2:.
A、–1B、1C、±1D、0
3、判斷
①互為相反的兩個數在數軸上位于原點兩旁()
②在一個數前面添上“-”號,它就成了一個負數()
③只要符號不同,這兩個數就是相反數()
x?12x?3
4、計算:已知和的值互為相反數,求x的值。
34
知識點四:絕對值
1、絕對值的幾何意義:一個數所對應的點離原點的距離叫做該數的絕對值。
2、絕對值的代數定義:(1)一個正數的絕對值是它本身;(2)一個負數數的絕
對值是它的相反數;(3)0的絕對值是0;(4)|a|大于或者等于0。
3、比較兩個數的大小關系
數學中規定:在數軸上表示有理數,它們從左到右的順序,就是從大到小的
順序,即左邊的數小于右邊的數。由此可知:(1)正數大于0,0大于負數,
正數大于負數;(2)兩個負數,絕對值大的反而小。
1、化簡
(1)-|-2/3|=_____;
(2)|-|-|+|=___;
(3)1-|-1/2|=___;
(4)-1-|1-1/2|=______。
3、填空題。
①若|a|=3,則a=____;|a+1|=0,則a=____。
②若|a-5|+|b+3|=0,則a=___,b=___。
③若|x+2|+|y-2|=0,則x=___,y=___。
④絕對值小于2的整數有________。
3:.
⑤絕對值等于它本身的數有___________。
⑥絕對值不大于3的負整數有__________。
⑦數a和b的絕對值分別為2和5,且在數軸上表示a的點在表示b的點左側,
則b的值為。
⑧,0,-1,1/2,-3,-1/3,2,1/3,1這組數按從大到小的順序排列,
并用“>”號連接。
知識點五:有理數加減法
1、有理數的加、減法法則
①同號兩數相加,取相同的符號,并把絕對值相加。
絕對值不相等的異號兩數相加,取絕對值較大的加數的符號,并用較大的絕
對值減去較小的絕對值。
②互為相反數的兩個數相加得0。
③一個數同0相加,仍得這個數。
④減去一個數,等于加上這個數的相反數。
2、計算
?2??1?3?1?
(1)???????
??????
?3??3?4?4?
(2)?40?28?(?19)?(?24)?(?32)
?2?4?1??1?
(3)???????????????
?3?5?2??3?
(4)?(?12)?(?25)?18?(?10)
1
(5)8?(?)?5?(?)
4
知識點六:乘除法法則
①兩數相乘,同號得正,異號得負,并把絕對值相乘。0乘以任何數,
都得0。
4:.
②幾個不為0的數相乘,積的符號由負因數的個數確定,負因數的個數為偶數
時,積為正;負因數的個數為奇數時,積為負。
③兩數相除,同號得正,異號得負,并把絕對值相除。0除以任何一個
不等于0的數,都得0。
④有理數中仍然有:乘積是1的兩個數互為倒數。
⑤除以一個不等于0的數等于乘以這個數的倒數。
知識點七:乘方
乘方定義:求n個相同因數的積的運算,叫做乘方。
an
中,底數是a,指數是n,冪是乘方的結果;讀作:a的n次方或a的n次
冪。
負數的奇次冪是負數,負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數,0的任
何正整數次冪都是0。
1、填空
①23中,底數是;指數是;結果是;讀
作:。
②(-2)2中,底數是;結果是。
③5中,底數是;指數是。
22
??
④??中,底數是;指數是;冪是。
?3?
⑤18表示個相乘,結果是。
2、計算:
32=;-23=;-14=;
(-3)2=;05=;=.
知識點八:運算律及混合運算
1、基本知識
?加法交換律:a?b?b?a
?乘法交換律:a?b?b?a
?加法結合律:????
a?b?c?a?b?c
?乘法結合律:????
a?b?c?a?b?c
?乘法分配律:a??b?c??ab?ac
?有理數混合運算順序:先乘方;再乘除;最后算加減。
5:.
有括號,先算括號內的運算,按小括號、中括號、大括號依次進行。
同級運算,從左到右進行。
2、計算
??
?(?12)?(?3)
?2?.(?7)?(?5)?90?(?15)
?3?.(?48)?8?(?25)?(?6)
23
?4?.42?(?)?(?)?(?)
34
知識點九:科學記數法近似數
把一個大于10的數表示成a?10n的形式(其中a是整數數位只有一位的數,
即1≤|a|<10,n是正整數),使用的是科學記數法。如:57000000??107。
知識點十:近似數
1、近似數:在一定程度上反映被考察量的大小,能說明實際問題的意義,與準
確數非常地接近,像這樣的數我們稱它為近似數。
2、近似數的分類:
(1)具體近似數(、…)(2)帶單位近似數(…)
(3)科學記數法(?105…)
3、精確度:用位數較少的近似數替代位數較多或位數無限的數,有一個近似程
度的問題,這個近似程度就是精確度。四舍五入到哪一位,就說精確到哪一位(看
精確度得到原數中去看在哪一位上,如:,而非十分位,
萬就是24000,4在千位上)。
4、有效數字:對于一個不為0的近似數,從左邊第一個不為0的數字起,到末
尾數止,所有數字都是這個近似數的有效數字。
求近似數要求保留n個有效數字時,第n+1個有效數字作四舍五入處理。
例:、0、9,要求保留2個有效數字時,
三個有效數字9四舍五入,,保留兩個有效數字1、1后求出近似數
≈。
5、計算
按括號內的要求,用四舍五入法對下列各數取近似數:
6:.
(1)(/)
(2)(精確到個位/)
(3)(保留3個有效數字)
第二章整式的加減
知識點一:整式的相關概念
代數式中的一種有理式:不含除法運算或分數,以及雖有除法運算及分數,
但除式或分母中不含變數者,則稱為整式。(分母中含有字母有除法運算的,那
么式子叫做分式)
2
:數或字母的積(如5n,ab,x2等),單個的數或字母也是單
3
項式。
(1)單項式的系數:單項式中的數字因數及性質符號叫做單項式的系數。(如
果一個單項式,只含有數字因數,系數是它本身,次數是0)。
(2)單項式的次數:一個單項式中,所有字母的指數的和叫做這個單項式的
次數(非零常數的次數為0)。

(1)概念:幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中,每個單項式叫做多項
式的項,其中不含字母的項叫做常數項。一個多項式有幾項就叫做幾項式。
(2)多項式的次數:多項式中,次數最高的項的次數,就是這個多項式的次
數。
(3)多項式的排列:
把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來,叫做把多項式
按這個字母降冪排列;把一個多項式按某一個字母的指數從小到大的順序排列起
來,叫做把多項式按這個字母升冪排列。
在做多項式的排列的題時注意:
(1)由于單項式的項包括它前面的性質符號,因此在排列時,仍需把每一項
的性質符
看作是這一項的一部分,一起移動。
(2)有兩個或兩個以上字母的多項式,排列時,要注意:
。
,還是升冪排列。
7:.
3、整式:單項式和多項式統稱為整式。
4、列代數式的幾個注意事項:
(1)數與字母相乘,或字母與字母相乘通常使用“·”乘,或省略不寫;
(2)數與數相乘,仍應使用“×”乘,不用“·”乘,也不能省略乘號;
(3)數與字母相乘時,一般在結果中把數寫在字母前面,如a×5應寫成5a;
13
(4)帶分數與字母相乘時,要把帶分數改成假分數形式,如a×1應寫成a;
22
3
(5)在代數式中出現除法運算時,一般用分數線將被除式和除式聯系,如3÷a寫成的形
a
式;
(6)a與b的差寫作a-b,要注意字母順序;若只說兩數的差,當分別設兩數為a、b時,
則應分類,寫做a-b和b-a.
知識點二:整式的加減運算
:所含字母相同,并且相同字母的次數也相同的項叫做同類項,
幾個常數項也是同類項。(同類項與系數無關,與字母排列的順序也無關)。
:把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項。法則:同類項
的系數相加,所得結果作為系數,字母和字母的指數不變。不能合并的項單獨作
為一項,不可遺漏
,合并同類項。
注:去括號時,如果括號外的因數是正數,去括號后原括號內各項的符號與原來
的符號相同;如果括號外的因數是負數,去括號后原括號內各項的符號與原來的
符號相反。一般地,幾個整式相加減,如果有括號就先去括號,然后再合并同類
項。
4、幾個重要的代數式:(m、n表示整數)
(1)a與b的平方差是:a2-b2;a與b差的平方是:(a-b)2;
(2)若a、b、c是正整數,則兩位整數是:10a+b,則三位整數是:100a+10b+c;
(3)若m、n是整數,則被5除商m余n的數是:5m+n;偶數是:2n,
奇數是:2n+1;三個連續整數是:n-1、n、n+1;
(4)若b>0,則正數是:a2+b,負數是:-a2-b,非負數是:a2,非正數
是:-a2.
8:.
補充例題如下:
9:.
第三章一元一次方程
知識點一:方程的相關概念
等式:表示相等關系的式子。
方程:含有未知數的等式。(方程一定是等式,但等式不一定是方程)。
方程的解:使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解。
解方程:求出使方程左右兩邊都相等的未知數的值的過程叫做解方程。
一元一次方程:只含一個未知數,未知數的次數是1,并且等式兩邊都是整式的
方程。
同解方程:兩方程的解相同。
知識點二:等式的性質
等式的性質1:等式兩邊加(或減)同一個數(或式子),結果仍相等。
即:如果a?b,那么a?c?b?c。
等式的性質2:等式兩邊乘同一個數,或除以同一個不為0的數,結果仍相等。
ab
即:如果a?b,那么ac?bc;如果a?b(c?0),那么?。
cc
知識點三:解一元一次方程
一般解法:
ⅰ去分母:兩邊同乘以各分母的最小公倍數;
ⅱ去括號;
ⅲ移項:移項要變號;
ⅳ合并同類項:把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
10:.
ⅴ系數化為1:兩邊同除以未知數的系數,得到方程的解x=b/a。
一元一次方程的應用(重點難點):
列方程解應用題的關鍵是:仔細審題,找出能正確表達題目整體數量關系的一個
相等關系,再設未知數,并將這個相等關系用含未知數的式子表示出來。
幾種常見問題:
:這類問題主要是正確理解是幾倍“增加了幾倍”“增加到幾倍”
“多少”“大小”“不足“剩余”等關鍵詞語的意義。
:三個基本量的關系路程=速度×時間
(1)兩人在圓形跑道上同時同地背向而行求首次相遇時間:甲的路程+乙的路程=
一圈的長度(直線路上兩人面對面行走首次相遇的時間求法與之相同);
(2)兩人在圓形跑道上同時同地同向而行求首次相遇時間:快人的路程-慢人的路
程=一圈的長度。
:三個基本量的關系:工作量=工作效率×工作時間
一般情況下,把全部工作量看做1(即100%),工作效率=1/工作時間(各個量一
定要對應,自己的效率乘以自己的時間等于自己的工作量)。合作效率=各個人的
效率之和。
:利潤=售價-成本=成本×利潤率;利潤率=利潤÷成本;實際售價=
標價×折扣率。
:例:某車間有22名工人加工生產一種螺栓和螺母,每人每天平均
生產螺栓120個或螺母200個,一個螺栓要配兩個螺母(建立等量關系的依據),
應該分配多少名工人生產螺栓,多少名工人生產螺母,才能使每天生產的產品剛
好配套?
:順水速度=靜水速度+水流速度;逆水速度=靜水速度-水流速度。
應用舉例:
,小明第一天讀了十分之一,第二天讀了10頁,已讀的是未讀的1/
4,請問這本書一共有多少頁?
等量關系:已讀的+未讀的=總頁數(或已讀的=總頁數-未讀的,未讀的=總頁數-
已讀的)。
%,八月份上升了10%,則八月份價格與原價比()
%%%
注意:不要誤以為不變,百分數的基數不一樣會變化,7月份是在原價基礎上下降
10%,8月份是在7月份基礎上上升10%而不再是在原價基礎上上升。
,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米,
(1)當兩人同時同地背向而行時,經過多少秒后兩人首次相遇?
11:.
(2)當兩人同時同地同向而行時,經過多少秒后兩人首次相遇?
分析(1):設經過x秒首次相遇。兩人加起來跑完一圈即400米時首次相遇,所以
等量關系式是:甲的路程+乙的路程=一圈的長度400米甲的路程=甲的速度×
時間x乙的路程=乙的速度×時間x得到方程:9x+7x=400
(2)設經過x秒首次相遇。同向首次相遇,即快的人多跑一圈與慢的人相遇,
所以等量關系式是:快人的路程-慢人的路程=一圈的長度400米,在這即是甲的
路程-乙的路程=400。
,甲獨做需x天,乙獨做需y天,若兩人合作需________天
分析:合作時間=工作量/合作效率工作量=1合作效率=甲的效率+乙的效
率
甲的效率=工作量/甲的時間=1/x乙的效率=工作量/乙的時間=1/y
∴合作時間=1/(1/x+1/y)
,按標價的9折銷售時,%,這種商
品每件標價多少元?
分析:設標價x元,等量關系:利潤(求)÷成本(已知250元)=利潤率(已知
%)
利潤=實際售價(標價的9折即90%x)-成本250
∴(90%x-250)/250=%
練****小明、小紅買工具,所帶錢之比為7:6,小明用掉50元,小紅用掉60
元,兩人余下錢之比為3:2,,求他們分別余下多少錢?
第四章圖形認識初步
知識點一:幾何圖形
1、我們把從實物中抽象出的各種圖形統稱為幾何圖形。
2、有些幾何圖形的各部分不都在同一平面內,它們是立體圖形。如長方體、正
方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等。
3、有些幾何圖形的各部分都在同一平面內,它們是平面圖形。如線段、角、三
角形、長方形、圓等。
4、立體圖形與平面圖形雖然是兩類不同的幾何圖形,但是立體圖形中某些部分
是平面圖形,對于一些立體圖形的問題,常把它們轉化為平面圖形來研究和處理。
有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的,將它們的表面適當剪開,可以展開成平
12:.
面圖形,這樣的平面圖形成為相應立體圖形的展開圖。
知識點二:點、線、面、體
1、立體圖形是幾何體,簡稱體;包圍著體的是面,面有平面和曲面;面和面相
交的地方形成線,線有直線和曲線;線和線相交的地方是點。
2、幾何圖形都是由點、線、面、體組成,點是構成圖形的基本元素。
知識點三:直線、射線、線段
1、線段:直線上兩個點和它們之間的部分叫線段,這兩個點叫線段的端點。
射線:將線段向一個方向無限延長就形成了射線。
直線:將線段向兩個方向無限延長就形成了直線。
2、點與直線的位置關系:點p在直線a上(或說直線a經過點p);
點p不在直線a上(或說直線a不經過點p)。
過一點可畫無數條直線,過兩點有且僅有一條直線。簡述為:兩點確定一條
直線。
3、線段的中點:把一線段分成兩相等線段的點。
兩點的所有連線中,線段最短,簡述為:兩點之間,線段最短。
兩點間的距離:連接兩點間的線段的長度。
線段的長短比較:⑴度量法;⑵疊合法
判斷:①兩點間的距離是指兩點間的線段。()
②兩點間連線的長度叫這兩點間的距離。()
知識點四:角
角:由兩條具有公共端點引出射線組成的圖形(也可看做是由一射線繞端點旋轉
而成)。
角的表示:三個大寫字母;一個大寫字母(不混淆情況下方可使用);一個數字;一
個希臘字母。m
角的要素:頂點和邊,角的大小與邊的長短無關。
角的單位:度,分,秒①1°的60分之一為1分,記作n1′,即1°=60′
②1′的60分之一為1秒,記作1″,即1′=60″
角的大小比較:⑴度量法;⑵疊合法。
角平分線:從一個角的頂點引出一條射線,把這個角分成兩個等角,這條射線叫
角平分線。
余角和補角:如果兩個角的和等于90°(直角),就說這兩個角互為余角;如果
兩個角的和等于180°(平角),就說這兩個角互為補角。
性質:等角的補角相等;等角的余角相等。
題型一:作圖題
13:.
例1、已知:線段m、n。(如圖)
求作:線段AC,使AC=m-n。
作法:(1)作射線AM;
(2)在射線AM上截取AB=m。
(3)在線段AB上截取BC=n。
則線段AC就是所求作的線段。
題型二:線段的分類考慮
例2已知線段AB=8cm,在直線AB上畫線段BC,使它等于3cm,求線段AC的
長.
解:本題分兩種情況:
如圖4—4—9所示,當點C在線段AB的延長線上時,
AC=AB+BC=8+3=11(crn);
如圖4—4—10所示,當點C在線段AB上時,
AC=AB-BC=8—3=5(cm).
所以線段AC的長為11cm或5cm.
例3經過任意三點中的兩點共可以畫出的直線條數是()

解析:這道題要分兩種情況考慮:一是這三點都在一條直線上時,就只能畫
出一條直線;二是這三點不在同一條直線上時,
案:A
題型三:兩角互補、互余定義及其性質的應用
例4一個角的補角是這個角的4倍,求這個角的度數.
解:設這個角是x°,則它的補角是(180-x)°.
由題意,得180-x=4x,解得x=°.
14:.
點撥
本題主要考查補角定義的應用,數學中利用方程、轉化思想,可將“形”的
問題轉化為“數”的問題研究,從而簡捷解決問題.
例5如果一個角的補角是120°,那么這個角的余角是()
°°°°
解析:本題是對余角、補角的綜合考查,先根據這個角的補角是120°,求
出這個角是60°,再求出它的余角是30°.答案:A
例6根據補角的定義和余角的定義可知,10°的角的補角是170°,余角是80°;15°
的角的補角是165°,余角是75°;32°的角的補角是148°,余角是58°.….
觀察以上各組數據,你能得出怎樣的結論?請用任意角α代替題中的10°、15°、
32°的角來說明你的結論.
解:結論為:一個角的補角比這個角的余角大90°.
說明:設任意角是α(0<α<90°),α的補角是180°-α,α的余角是
90°-α,
則(180°-α)-(90°-α)=90°.
題型四:角的有關運算
例7如圖4—4—3所示,AB和CD都是直線,∠AOE=90°,
∠3°=∠FOD,∠1=27°20′,求∠2、∠3的度數.
解:因為∠AOE=90°,
所以∠2=90°-∠1=90°-27°20′=62°40′.
又因為∠AOD=180°-∠1=152°40′,∠3=∠FOD,
1
所以∠3=∠AOD=76°20′.
2
所以上2=62°40′,∠3=76°20′.
例8如圖4—4—4所示,OB、OC是∠AOD內任意兩條射線,
OM平分∠AOB,ON平分∠COD,若∠MON=α,∠BOC=β,
用α、β表示∠AOD.
解:因為∠MON=α,∠BOC=β,
所以∠BOM+∠CON=∠MON-∠BOC=α-β
又OM平分∠AOB,ON平分∠COD,
所以∠AOB+∠COD=2∠BOM+2∠CON
=2(∠BOM+∠CON)=2(α-β),
所以∠AOD=∠AOB+∠COD+∠BOC=2(α-β)+β=2α-β.
例9(1)用度、分、°.
(2)32°44′24″等于多少度?
(3)計算:133°22′43″÷3.
解:(1)°=60′×=′,′=60″×=12″,
°=54°7′12″.
11
(2)因為24″=()′×24=′,′=()°×=°,
6060
所以32°44′24″=°.
(3)133°22′43″÷3=(132°+82′)÷3+43″÷3=44°+82′÷3+43″÷3
=44°+(81′+1′)÷3+43″÷3=44°+27′+1′÷3+43″÷3
=44°+27′+103″÷3≈44°+27′+3″=44°27′3″.
15:.
方法總結
角的有關運算是指角的單位換算和角的加、減、乘、
是60進制的,和計量時間的時、分、,要將度、分、秒分別相
加、相減,分、秒逢60要進位,而相減不夠時要借1作60;度、分、秒形式乘
一個數時,要將度、分、秒分別乘這個數,分、秒逢60進位;度、分、秒形式
除以一個數時,也是將度、分、秒分別除以這個數,不過要將高位的
余數轉化成低位,與原位上的數相加后再除以這個數.
題型五:鐘表的時針與分針夾角問題
例10、15:25時鐘面上時針和分針所構成的角是度.
解析:起始時刻定為15:00(下午3點整時,時針和分針構成的
角是90°),終止時刻為15:25,從圖4—4—5中可以看出分針從12
轉到5用了25分鐘,轉了6°×25=150°,°×25=°,
所以15:25時鐘面時針和分針所構成的角為150°-90°-°=
°.答案:
點撥:解決此類問題時要選擇恰當的起始時刻,注意時針和分針同時在運動,并
30?360?
牢記時針每分鐘轉==,分針每分鐘轉=6°.
6060
例11、從3時到6時,鐘表的時針旋轉角的度數是()
°°°°
考點突破:此類題是近幾年中考中的熱點問題,
決此類問題需明確:在鐘表上,1分鐘分針走6°,1小時時針走30°.
題型六:方位角
例12、如圖4—4—24所示,一只螞蟻從O點出發,沿北偏東
30°,碰到障礙物B后,又沿西北方向爬行3
cm到達C處.
(1)畫出螞蟻爬行的路線;
(2)求∠OBC的度數;
(3)測出線段OC的長度().
解:(1)螞蟻爬行的路線如圖4—4—25所示.
(2)因為螞蟻從O點出發沿北偏東30°
達B處,即∠OBD=30°,則∠ABO=60°.
又因為螞蟻到達B處后又沿西北方向爬行了3cm,即∠ABC
=45°.
所以∠OBC=∠ABO+∠ABC=60°+45°=105°.
(3).
題型六:折疊問題
16:.
例12:如圖,長方形紙片ABCD,點E、F分別在邊AB、CD上,∠BEF
對折,點B落在直線EF上的點B'處,得折痕EM;將∠AEF對折,點A落在直線
EF上的點A'處,得折痕EN,求∠NEM的度數.
解:由折紙過程可知,EM平分∠BEB',EN平∠AEA',
A'
DC
F